ARITMÉTICAS NO
DIOFANTINAS

Las aritméticas imaginarias

¿Por qué, oh dioses, dos y dos han de ser cuatro? (Alexander Pope)

“La aritmética es la gramática de los números” (Wittgenstein. Investigaciones Filosóficas)


Concepto

La aritmética convencional, la conocida y utilizada habitualmente, se suele denominar “aritmética diofantina”, en honor a Diofanto de Alejandría, por sus importantes contribuciones a esta rama de la matemática (entre ellas su famoso tratado sobre aritmética). Esta aritmética siempre se ha considerado la “única verdadera”. Sin embargo, es perfectamente lícito plantear la existencia de otras aritméticas alternativas (llamadas “no diofantinas”), que sean tan consistentes como la clásica, no solo como un mero ejercicio intelectual de abstracción, sino para que también tengan utilidad práctica en problemas reales.

Esta situación es análoga a la de la geometría euclídea, que siempre se consideró la única verdadera −evidente, según Kant−, hasta que en el siglo XIX Gauss, Lobachevski y Bolyai plantearon geometrías alternativas modificando el axioma de las paralelas (el famoso quinto postulado), tan consistentes como la geometría euclídea.

Lobachevsky calificó a su geometría como “imaginaria”, pero posteriormente se descubrió que el espacio físico real no tiene una geometría euclidiana. El descubrimiento de las geometrías no euclidianas se considera uno de los grandes logros de la matemática. Contribuyó en gran medida a entender la matemática como una disciplina abierta, basada únicamente en los axiomas que se establezcan. También ayudó a mejorar nuestra comprensión del mundo físico. La aritmética, último refugio de una matemática absoluta, también está sujeta a esta filosofía.


Ejemplos

He aquí algunos ejemplos planteados por los defensores o partidarios de aritméticas alternativas:
  1. Uniendo una gota a otra gota no se obtienen dos gotas, sino una sola.

  2. Al mezclar un litro de alcohol y un litro de agua se obtiene aproximadamente 1.8 litros de vodka.

  3. El precio de un kilo de arroz es de 3 € y el precio de 2 kilos es de 5 €.

  4. Si un coche vale más de 20.000 €, un aumento de hasta 100 € se considera nulo o despreciable, es decir, se considera que el precio del coche no varía.

  5. Añadir azucar a la leche produce leche con azucar con el mismo volumen inicial, siempre que la cantidad de azucar sea menor que 1/20 del peso de la leche.

Justification

A pesar de que no hay una concepción universalmente aceptada de la matemática −hay muchas concepciones enfrentadas entre sí−, hay consenso universal en la aritmética a nivel teórico. Otra cuestión es el problema de la implementación de la aritmética.

Hay una matemática pura y una matemática aplicada al mundo físico, matemáticas que Morris Kline [1985] denomina “matemática exterior” y “matemática interior”, respectivamente. Platón (en Filebo) ya afirmaba que “La aritmética es de dos clases, una es popular y la otra filosófica”.

A nivel mental o teórico, la aritmética tradicional es válida. La aritmética es la rama más básica y antigua de la matemática. Sin la aritmética no podríamos desarrollar nuestra vida diaria y no podríamos hacer ciencia ni tecnología. La aritmética es la base de la moderna teoría de números. Si se cambiara la aritmética, se necesitaría una nueva teoría de números, pues cambiarían las propiedades de los números. Por ejemplo, la definición de número primo se basa en la definición de división, que a su vez se basa en la multiplicación, y ésta en la suma.

La aparición de las aritméticas no diofantinas no se debe a que se dude de la aritmética teórica clásica, como afirman algunos autores, sino que está motivada por varias razones:
  1. Por problemas de implementación física, que obliga a que la aritmética funcione de manera diferente, por errores de precisión o por limitaciones de la memoria. El conjunto de números con los que pueden operarse es finito. Por ejemplo, en un ordenador los números enteros suelen estar limitados por el número de bits utilizados para su representación. Si se utilizan n bits, se pueden representar números enteros desde −2n−1 a 2n−1 (el signo ocupa 1 bit). Los números de punto flotante también están limitados por la longitud de la mantisa y por el exponente. Entonces puede producirse overflow o underflow, según que el exponente exceda o quede por debajo del límite permitido. Puede ocurrir (y de hecho ocurre) que la simple operación de 0.5+0.5 no de 1, sorprendentemente. Los errores ocurren en las implementaciones de la aritmética, nunca a nivel teórico.

  2. Muchos fenómenos y procesos físicos no siguen una aritmética diofantina, especialmente los cuánticos y relativistas. En física relativista, la aritmética es no diofantina, pues se cumple la expresión imaginaria: c+v = c (c es la velocidad de la luz). En física cuántica, hay magnitudes que no cumplen las propiedades conmutativa y distributiva.

  3. En la aritmética del reloj (de Gauss), los números están limitados entre 1 y 12. Por ejemplo, 9+5 = 2 (resto de la división de 14/2). En general, en la aritmética modular de módulo m, a+b es el resto de (a+b)/m.

  4. Para implementar conceptos cualitativos como “mucho mayor que” o “mucho menor que” que se pueden formalizar como una aritmética imaginaria:

    Si a≫b (a mucho mayor que b) o b≪a (b mucho menor que a), entonces a+b = a (pues b es despreciable frente a a).

La aritmética generalizada de Mark Burgin

Mark Burgin [2010] ha inventado una familia o clase de aritméticas no diofantinas, haciéndolas dependientes de un parámetro funcional f(x), como en las geometrías de Lobachewski. Es decir, generaliza la aritmética tradicional (diofantina), siendo ésta un caso particular de esta clase de aritméticas cuando f(x) = x: Si, por ejemplo, f(x) = ax + b, entonces Si a=1 y b=0, es decir, si f(x) = x, tenemos la aritmética tradicional.

Otra posible aritmética no diofantina es: Si, por ejemplo, f(x) = ax + b, entonces
f−1(x) = (x − b)/a   y   f−1(f(x)) = x

x + y = f−1(ax + ay + 2b) = x + y + b/a

x * y = f−1(a2xy + abx + aby + b2) = axy + bx + by + (b2 − b)/a

Si a=1 y b=0, tenemos nuevamente la aritmética tradicional.


Especificación en MENTAL

Desde el punto de vista de MENTAL, las aritméticas no diofánticas son realmente aritméticas imaginarias. Esto justifica que a las geometrías no euclidianas se las denominaran inicialmente “geometrías imaginarias”.

La unidad imaginaria i (i2 = −1) da lugar a una aritmética no diofantina: la aritmética de los números complejos (a + bi). Los números duales también son imaginarios: se definen como a + bε, donde ε2 = 0; dan lugar también a una aritmética no diofantina. El elemento ε (infinitésimo) es el fundamento del cálculo diferencial e integral.

Realmente, en MENTAL se pueden definir fácilmente aritméticas alternativas mediante expresiones genéricas (parametrizadas o no) de sustitución y/o condicionales, que especifican las nuevas leyes aritméticas. La definición de expresiones aritméticas imaginarias dependen de la imaginación (y nunca mejor dicho) del usuario.

Cuando se utilizan expresiones genéricas parametrizadas, podemos tener adicionalmente “algebra imaginaria”, “lógica imaginaria” o combinación de las dos.

Con MENTAL se aclara que las aritméticas no diofantinas son la consecuencia natural de las posibilidades del lenguaje en el dominio de la aritmética. Con MENTAL se pone en evidencia que que la matemática son grados de libertad y que podemos utilizar esos grados de libertad de muchas maneras.


Ejemplos
  1. (3+4 = 0)
    (1+2)+(3+4) // ev. 3

  2. ⟨( (3+n = 3 )⟩
    3+7 // ev. 3

  3. ⟨( (1000+n = 1000) ← n>0 ← n<100 )⟩
    1000+5 // ev. 1000
    1000+105 // ev. 1105

  4. ⟨( (n1+n2 = (n1 +° n2) ← n1>n2 )⟩

    En este caso, no se realiza la suma si el primer operando es mayor que el segundo.

    34+7 // ev. 34+7 (se autoevalúa)
    7+34 // ev. 41

  5. ⟨( (n1 a n2) = (f(n1) + f(n2)) )⟩
    ⟨( f(n) = 2*n )⟩
    (3 a 4) // ev. 6+8 = 14

  6. ⟨( (n1 + n2) = (f(n1) + f(n2)) )⟩
    ⟨( f(n) = 2*n )⟩
    (3 + 4) // ev. 6+8 ev. 12+16 ev. 24+32 ...

    En este caso, la expresión de suma es recursiva. De ahí la necesidad de definir la operación como en el ejemplo anterior.

  7. Las definiciones recursivas de suma y producto

    ⟨( (n + m) = (n + 1 + (m−1))←(m>1) )⟩

    ⟨( (n*m) = (n + n*(m−1))←(m>1) )⟩

    se podrían generalizar introduciendo, por ejemplo, un parámetro funcional:

    ⟨( (n + m) = (f(n) + (f(m) − 1) + 1)←(m>1) )⟩

    ⟨( (n*m) = (f(n)*(f(m) − 1) + f(n))←(m>1) )⟩

    Estas definiciones se arrastrarian a las operaciones aritméticas de orden superior (potencia, hiperpotencia, etc.).

  8. Aritmética modular módulo m:

    ⟨( suma(n1 n2 m) = (n2+n2 − ((n1+n2)÷m)*m) )⟩
    suma(3 11 12) // ev. 2

  9. Suma condicional o restrictiva:

    ⟨( suma(n1 n2 max) = (k = n1+n2) (k>max → k=max) ¡k)! )⟩

Codificación de los ejemplos anteriores

En el caso de los ejemplos planteados por los defensores de aritméticas alternativas, su especificación requiere además la utilización de magnitudes y funciones.
  1. (1*gota + 1*gota = 1*gota)

  2. ( (1*litro)(alcohol) + (1*litro)(agua) = (1.8*litro)(vodka) )

    Se utiliza una notación funcional: magnitud(líquido).

  3. ( ( precio((1*kilo)(arroz)) = 3*€ ) →
    ( precio((2*kilo)(arroz)) = 5*€ ) )⟩

  4. ( ( precio(coche) > 20000*€) ) →
    ( precio(coche) + n = precio(coche)) ← (n < 100*€) ) )

  5. ( (volumen(lecha + azucar) = volumen(leche)) ←
    (peso(azucar) < (120.)*peso(leche)) )

Adenda

Un poco de historia

Quizás el primero que cuestionó la validez de la aritmética convencional fue Herman von Helmholtz en “Contando y Midiendo”, obra de 1887, al detectar el problema de su aplicabilidad a ciertos fenómenos físicos.

Durante el siglo XX, diversos autores (como Kolmogorov, Littlewood y Kline) también detectaron problemas donde la aritmética clásica no era aplicable, por lo que sugirieron la necesidad de aritméticas alternativas. Otros autores introdujeron diferentes tipos de números naturales, incluyendo números de tipo cualitativo (p.e. pequeño, mediano, grande, supergrande), aunque siempre dentro de la aritmética ordinaria.

El primer matemático que planteó formalmente el problema de construir aritméticas alternativas fue P.K. Rashevsky [1973].

Más recientemente, Brian Rotman [1997] ha presentado una serie de ejemplos en los que la aritmética clásica no funcionaba, planteándose la necesidad de otras aritméticas.

El gran impulsor de la aritméticas no diofánticas es Mark Burgin. La primera familia de aritméticas no diofánticas definidas por este autor son las aritméticas proyectivas [Burgin, 1977], que dependen de un parámetro funcional f(x). Cuando f(x) = x, se tiene la aritmética diofantina tradicional. Otra familia es la de las aritméticas duales [Burgin, 1980].


Bibliografía